蝴蝶效应的理论研究

蝴蝶

目前，有三种系统会存在对初始条件非常敏感的情况，即存在着“蝴蝶效应” 。
第一种：发散的（divergent）动力系统。例如削尖的铅笔，其笔尖立在桌子上。理论上它可以保持平衡，但是非常不稳定，稍微一点外力影响就会倒下。如果我们不考虑在铅笔倒下过程中，桌子对铅笔的阻挡作用，那么铅笔倒下之后，就会一直跌落下去，直到无穷远。这个时候我们说，铅笔动力系统的运动轨迹发散到了无穷。这样的铅笔动力系统就是发散的。从过程角度来说，发散的动力系统都具有初始条件敏感依赖性，只要初始条件有一点差异，那么系统的演化过程就会很不一样；从“结果”（长期行为）角度来说，发散的动力系统都不具备初始条件敏感依赖性，因为无论什么样的初始条件，系统的演化过程一定是朝向无穷大（或无穷远）的。
第二种：具有多个平衡态和周期态的系统。例如范德波尔振荡器。这种振荡器是荷兰物理学家 巴尔塔萨·范德波尔在1927年研究真空管时首次提出的动力系统。对于这种系统来说，当系统初始状态在某一区域时，系统状态先发散，之后的长期行为趋近于周期变化，而系统初始状态在另外一些区域时，系统状态不经发散直接趋于周期变化。如果改变这个动力系统的参数，又会出现，当系统初始状态在某一区域时，系统状态收敛到某一平衡态，而在另一区域时，系统状态又趋于无穷。
第三种：混沌系统，例如洛伦茨所构建的系统。这类系统不仅具备初始条件敏感依赖性，而且既不发散，也不收敛，还表现出非周期现象。狭义的说，洛伦茨所考虑的蝴蝶效应，正是混沌系统的效应。但是严格的说，初始条件敏感依赖性，并不是混沌系统的专有性质。只是在20世纪60年代，人们对于混沌的认识不深，因此把蝴蝶效应定义为了初始条件敏感依赖性，而没有注意区分蝴蝶效应和混沌行为。
注意：蝴蝶效应，也主要指混沌系统的初始条件敏感依赖性。然而，我们不应混淆蝴蝶效应和混沌系统。虽然混沌系统都具备这样的性质，但是具备这样性质的系统，却不一定是混沌系统。